નીચેના વિધાનો 'સાચા' છે કે 'ખોટા' તે જણાવો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
જો ત્રિઘાત બહુપદી $x^{3}+ax^{2}-bx+c$ ના ત્રણેય શૂન્યો ધન હોય,તો $a, b$ અને $c$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અ-ઋણ (non-negative) હોય.

(B) ખોટું. ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ એ ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{3}+ax^{2}-bx+c$ ના ત્રણ શૂન્યો છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \beta \gamma = -\frac{c}{1} = -c$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma > 0$ થાય. તેથી,$-c > 0$,જેનો અર્થ છે કે $c < 0$.
$2$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{a}{1} = -a$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma > 0$ થાય. તેથી,$-a > 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < 0$.
$3$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{-b}{1} = -b$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha > 0$ થાય. તેથી,$-b > 0$,જેનો અર્થ છે કે $b < 0$.
આમ,ત્રણેય શૂન્યો ધન હોય તે માટે $a, b$ અને $c$ ત્રણેય ઋણ હોવા જોઈએ. તેથી,આપેલ વિધાન કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અ-ઋણ છે,તે ખોટું છે.